Técnicas de teoría de operadores y análisis matricial en la teoría de marcos en espacios de Hilbert

Abstract

La teoría de marcos fue desarrollada inicialmente por Duffin y Schaeffer alrededor de los años 1950. Sin embargo, su relevancia surge más de treinta años después, con un trabajo de Daubechies, Grossman y Meyer a partir del cual se empezó a reconocer la importancia de esta teoría para las aplicaciones. Desde ese entonces, la teoría de marcos y la ingeniería han estado íntimamente relacionadas y se han retroalimentado mutuamente generando grandes avances en el área. Por otro lado, dentro de la teoría de análisis matricial, las desigualdades de Lidskii son clásicas protagonistas, ya que forman parte de un conjunto de herramientas que lidian con algunos de los problemas más naturales dentro de esta teoría, tales como los de aproximación de matrices y desigualdades que involucran tanto a los autovalores de una matriz, como a sus valores singulares. En particular, han sido claves para caracterizar minimizadores globales de funcionales convexos y de funciones definidas en base a normas unitariamente invariantes, con dominio en ciertas órbitas de matrices bajo la acción del grupo unitario. En esta tesis, desarrollaremos versiones locales de las desigualdades de Lidskii que nos permitirán caracterizar tanto a los minimizadores locales de potenciales convexos dentro de la familia de completaciones de marcos con normas predeterminadas; así como también a los minimizadores locales de lo que denominamos distancias al operador de marco. En particular se prueba que los minimizadores locales son globales y que no dependen del potencial convexo en el primer caso, y de la norma en el segundo. Ambos resultados nos permitirán obtener, de manera completamentamente independiente, una respuesta positiva a una conjetura planteada por N. Strawn en 2012. Por otro lado, para complementar el estudio sobre las desigualdades de Lidskii, se obtiene una caracterización del caso de igualdad en la desigualdad para valores singulares.