Análisis esférico matricial asociado a grupos nilpotentes

Abstract

Sea G un grupo de Lie y K un subgrupo compacto de G. Todos los fibrados vectoriales homogéneos sobre G/K pueden ser descriptos a partir de las representaciones V de dimensión finita de K. La presente tesis está motivada por el problema de expresar, simultáneamente, en forma diagonal a todos los operadores lineales y acotados aplicados al espacio de secciones infinitamente diferenciables y de soporte compacto de un fibrado vectorial homogéneo sobre G/K que son simétricos ante la acción de G. Como consecuencia del teorema del núcleo de Schwartz todos estos operadores G-invariantes son de convolución. Se prestará atención solamente a aquellos operadores integrales cuyos núcleos de convolución son funciones integrables. Dichas funciones son a valores matriciales (en los endomorfismos de V, End(V)) y bi-equivariantes por la acción de K. Para lograr una diagonalización simultánea es necesario que los operadores conmuten. Como la composición de tales operadores se identifica con el producto de convolución de sus núcleos, será de particular interés el álgebra de convolución de funciones de G en End(V), integrables y bi-equivariantes por K, es decir, la estructura matemática que conforman los núcleos. Una terna (G, K, V) se dice conmutativa si dicha álgebra es conmutativa. En tal caso, los caracteres de esta álgebra de convolución son las llamadas funciones esféricas y se pueden interpretar como las coordenadas que permiten expresar en forma diagonal a todos los operadores de interés. Esta tesis se focaliza en determinar ejemplos particulares de grupos G, K y representaciones irreducibles V tales que (G, K, V) resulte una terna conmutativa, para luego poder desarrollar el análisis esférico, esto es, dar una descripción explícita de las funciones esféricas y de la transformada de Fourier esférica. Con respecto al primer objetivo, se estudian en detalle ejemplos en los que el grupo de Lie G está dado por el producto semidirecto que se obtiene de considerar una nilvariedad homogénea N y el grupo K de automorfismos ortogonales de N. Por otro lado, se dan descripciones explícitas de todas las funciones esféricas matriciales en el caso en que G es la componente conexa de la identidad del grupo de movimientos rígidos del espacio euclídeo tridimensional y K es el grupo de rotaciones. Por último, a partir de una fórmula asintótica, se conectan la teoría de funciones esféricas asociadas a ciertos grupos que son un producto semidirecto con la teoría de funciones esféricas asociadas a ciertos pares simétricos donde G es un grupo de Lie semisimple, utilizando la noción de contracción de grupos de Lie.