On the sharpness of some quantitative Muckenhoupt–Wheeden inequalities

Abstract

In the recent work [Cruz-Uribe et al. (2021)] it was obtained that both in the matrix and scalar settings, where is either the Hardy–Littlewood maximal function or any Calderón–Zygmund operator. In this note we show that the quadratic dependence on is sharp. This is done by constructing a sequence of scalar-valued weights with blowing up characteristics so that the corresponding bounds for the Hilbert transform and maximal function are exactly quadratic.Dans le récent travail [Cruz-Uribe et al. (2021)], il a été démontré à la fois dans les contextes matriciel et scalaire, où est soit la fonction maximale de Hardy-Littlewood ou tout opérateur de Calderón-Zygmund. Dans cette note, nous démontrons que la dépendance quadratique par rapport à est optimale. Cela est réalisé en construisant une séquence de poids à valeurs scalaires avec des caractéristiques d’éclatements, de sorte que les bornes correspondantes à la transformation de Hilbert et la fonction maximale soient exactement quadratiques.