Regularity of Lipschitz free boundaries for a p(x)-Laplacian problem with right hand side

Abstract

We continue our study in [24] on viscosity solutions to a one-phase free boundary problem for the p(x)-Laplacian with non-zero right hand side. We first prove that viscosity solutions are locally Lipschitz continuous, which is the optimal regularity for the problem. Then we prove that Lipschitz free boundaries of viscosity solutions are C1,α. We also present some applications of our results. Moreover, we obtain new results for the operator under consideration that are of independent interest, such as a Harnack inequalityNous poursuivons ici notre étude entamée dans [24] sur les solutions de viscosité d’un probleme à frontière libre à une phase pour le p(x)-Laplacien avec un membre de droite non nul. Nous montrons d’abord que les solutions de viscosité sont localement lipschitziennes, ce qui est la régularité optimale pour le problème. Ensuite, nous prouvons que les frontières libres lipschitziennes sont de classe C1,α. Nous présentons également quelques applications de nos résultats. De plus, nous obtenons de nouveaux résultats pour l’opérateur considéré, qui sont d’intérêt indépendant, comme, par example, une inégalité de Harnack.