Estudio de una dualidad topológica para semirretículos distributivos con operadores modales monótonos y sus aplicaciones

Abstract

En el estudio de las álgebras relacionadas a las lógicas no-clásicas, los semirretículos (distributivos) están siempre presentes. Por ejemplo, la semántica algebraica del fragmento {→, ∧, T} de la lógica intuicionista modal es la variedad de los semirretículos implicativos, que son una clase especial de semirretículos distributivos. En esta tesis, introducimos y estudiamos la clase de semirretículos distributivos acotados dotados de operadores modales que cumplen con la condición de monotonía. Estudiamos una teoría de representación para estas álgebras usando las extensiones canónicas y desarrollamos una dualidad completa a través de espacios sober. Dichos resultados son aplicables, bajo modificaciones menores, al estudio de los retículos distributivos acotados, los semirretículos implicativos, las álgebras de Heyting y a las álgebras de Boole con operadores monótonos. Mostraremos cómo nuestra dualidad se extiende a algunos casos particulares. En el caso de las álgebras de Boole, nuestra dualidad incluye, como casos particulares, las dadas en [12] y [31]. Las lógicas modales monótonas han surgido en distintas áreas de aplicación, como por ejemplo, asociadas a ciertas sem anticas utilizadas en computación teórica e inteligencia artificial. Usando la dualidad desarrollada, estudiaremos algunas extensiones obtenidas a partir de un sistema deductivo basado en semirretículos con operadores modales monótonos. A estos sistemas deductivos los dotaremos de una semántica de entornos, y nuestro objetivo principal es probar la completitud de estas extensiones con respecto a una clase característica de marcos monótonos. La variedad de las álgebras de Boole con operadores modales monótonos es dualmente equivalente a dos clases de marcos monótonos generales descriptivos. Clarificaremos este fenómeno mostrando que existe una correspondencia biyectiva entre estas dos clases. Hablaremos sobre algunas clases de marcos de entornos monótonos generales, tales como las clases de punto compacto, imagen compacto y marcos monótonos generales repletos, y estudiaremos las relaciones entre ellos. También probaremos que las nociones de marco monótono punto compacto, e imagen compacto se preservan bajo morfismos acotados fuertes.

In the study of algebras related to non-classical logics, (distributive) semilattices are always present in the background. For example, the algebraic semantic of the {→, ∧, T} fragment of intuitionistic logic is the variety of implicative meetsemilattices, which are distributive semilattices. In this thesis we introduce and study the class of distributive meet-semilattices endowed with monotonic modal operators. We study the representation theory of these algebras using the theory of canonical extensions and we give a topological duality (Stone style) for them. Also, we show how our new duality extends to some particular subclasses. So, most of the results given in this paper are applicable, with minor modi cations, to the study of bounded distributive lattices, implicative semilattices, Heyting algebras, and Boolean algebras with monotonic operators. We note that in the particular case of Boolean algebras our duality yields the duality given in [12] and [31]. Monotone modal logics have emerged in several application areas such as computer science and social choice theory. Using the developed duality, we study some extensions obtained from a semilattice based deductive system with monotonic modal operators. We give neighborhood semantics, and our main objective is to prove completeness with respect to a characteristic classes of monotonic frames. The variety of Boolean algebras with monotonic modal operators is dually equivalent to two classes of descriptive general monotonic frames. We shall clarify this phenomenon showing that there exists a bijective correspondence between these two classes. We shall discuss some classes of general monotonic neighborhood frames, such as the classes of point-compact, image compact and replete general m-frames, and we shall study the relationships between them. We shall also prove that the notions of point-compact, and image-compact monotonic frames are preserved by strong bounded morphisms.