Diseño óptimo de multicompletaciones con restricciones de norma

Abstract

Consideremos una sucesión finita de números reales positivos α=(α i ​ ) i=1 n ​ y una sucesión de números enteros positivos d=(d j ​ ) j=1 m ​ , ambas ordenadas en forma no-creciente. Un (α,d)-diseño es una familia Φ=(F j ​ ) j=1 m ​ tal que: F j ​ ={f ij ​ } i=1 n ​ ∈(C d j ​ ) n de forma que se verifican las restricciones j=1 ∑ m ​ ∥f ij ​ ∥ 2 =α i ​ ,i=1,…,n. Denotaremos con D(α,d) al conjunto de todos los (α,d)-diseños. Sea Φ 0 =(F j 0 ​ ) j=1 m ​ tal que F j 0 ​ ={f ij 0 ​ } i=1 n ​ ∈(C d j ​ ) n con j=1,…,m. Una (α,d)-multicompletación de Φ 0 es (Φ 0 ,Φ)=(F j 0 ​ ,F j ​ ) j=1 m ​ con Φ∈D(α,d), donde (F j 0 ​ ,F j ​ )∈(C d j ​ ) k+n , para j=1,…,m. Dadas (Φ 0 ,Φ) una (α,d)-multicompletación y una función φ:R ≥0 ​ →R ≥0 ​ estrictamente convexa, consideramos el potencial conjunto inducido por φ, dado por: Ψ φ ​ (Φ)=P φ ​ (Φ 0 ,Φ)= j=1 ∑ m ​ tr(φ[S (F j 0 ​ ,F j ​ ) ​ ]), donde S (F j 0 ​ ,F j ​ ) ​ =S F j 0 ​ ​ +S F j ​ ​ denota el operador de marco de (F j 0 ​ ,F j ​ )∈(C d j ​ ) k+n , para j=1,…,m. Es bien sabido que los mínimos de potenciales convexos (bajo restricciones en las normas de los vectores) dan lugar a sistemas de reconstrucción más estables: cuanto menor es el potencial, más estable es el sistema. En esta charla consideraremos el problema de la existencia de (α,d)-multicompletaciones (Φ 0 ,Φ op ) óptimas dentro de la clase de todas las (α,d)-multicompletaciones, es decir, tales que P φ ​ (Φ 0 ,Φ op )≤P φ ​ (Φ 0 ,Φ), para toda (α,d)-multicompletación (Φ 0 ,Φ) y para toda φ. Estos resultados extienden los resultados obtenidos en [1].