Anticyclotomic p-adic L-functions for elliptic curves at some additive reduction primes

Abstract

Let E be a rational elliptic curve and let p be an odd prime of additive reduction. Let K be an imaginary quadratic field and fix a positive integer c prime to the conductor of E. The main goal of the present article is to define an anti-cyclotomic p-adic L-function L attached to E/K when E/Q p attains semistable reduction over an abelian extension. We prove that L satisfies the expected interpolation properties; namely, we show that if χ is an anticyclotomic character of conductor cp^n then χ(L ) is equal (up to explicit constants) to L(E, χ, 1) or L´(E, χ, 1).

Soit E une courbe elliptique rationnelle et p un premier impair de réduction additive. Soit K un corps quadratique imaginaire et c un entier positif, premier au conducteur de E. Le but de cette Note est de définir une fonction L p-adique, anti-cyclotomique, notée , attachée à lorsque atteint la réduction semi-stable sur une extension abélienne. Nous montrons que satisfait les propriétés d'interpolation escomptées. Précisément, nous montrons que, si χ est un caractère anti-cyclotomique de conducteur , alors est égal (à des constantes explicites près) à ou .