Algebraic treatment of the pais-uhlenbeck oscillator and its pt-variant

Abstract

The algebraic method enables one to study the properties of the spectrum of a quadratic Hamiltonian through the mathematical properties of a matrix representation called regular or adjoint. This matrix exhibits exceptional points where it becomes defective and can be written in canonical Jordan form. It is shown that any quadratic function of K coordinates and K momenta leads to a 2K differential equation for those dynamical variables. We illustrate all these features of the algebraic method by means of the Pais–Uhlenbeck oscillator and its PT-variant.

La méthode algébrique nous permet d’étudier les propriétés du spectre d’un hamiltonien quadratique via les propriétés mathématiques d’une représentation matricielle appelée régulière ou adjointe. La matrice présente des points exceptionnels où elle devient défectueuse et peut être écrite sous une forme canonique de Jordan. Nous montrons que toute fonction quadratique des K coordonnées et des K impulsions mène à une équation différentielle d’ordre 2K pour ces variables dynamiques. Nous illustrons toutes ces caractéristiques de la méthode algébrique par le biais de l’oscillateur de Pais–Uhlenbeck et de sa modification PT.