Construcciones de puntos de Heegner

Abstract

Dada una curva elíptica racional E y un cuerpo cuadrático imaginario K que satisface la llamada hipótesis de Heegner, podemos construir puntos definidos sobre extensiones abelianas de K conocidos como puntos de Heegner. Estos puntos, que se pueden calcular explícitamente, son cruciales para entender la aritmética de la curva elíptica. Cuando el signo de la ecuación funcional de E/K es -1 se espera poder construir puntos, aún cuando la hipótesis de Heegner no se satisfaga, de acuerdo a una conjetura propuesta por Darmon. El objetivo principal de la tesis es mostrar cómo obtener estos puntos de forma tanto teórica como computacional en todos los casos en donde uno espera que exista una construcción en un álgebra de cuaterniones no ramificada. Los casos estudiados en esta tesis, que yacen fuera de la teoría clásica, son cuando la curva tiene primos no estables que son o bien inertes o ramificados en el cuerpo K. En el primer caso, la clave consiste en reemplazar a las curvas modulares clásicas por las llamadas Curvas de Cartan non-split. En el segundo caso, la técnica utilizada consiste en asociar a la curva elíptica un objeto geométrico más complicado pero en el cual la existencia de puntos de Heegner está garantizada y luego recuperar los puntos en la curva original.

Given a rational elliptic curve E and an imaginary quadratic field K that satisfies the so called Heegner hypothesis, we can construct points on E defined over abelian extensions of K called Heegner points. These points, that can be explicitly computed, are crucial in order to understand the arithmetic of the elliptic curve. Whenever the sign of the functional equation of E/K is −1 we expect to find analogues of Heegner points, even if the Heegner hypothesis is not satisfied, according to a conjecture of Darmon. The main goal of this thesis is to show how to obtain these points in both a computational and theoretical way in all cases where we expect a construction to take place in an unramified quaternion algebra. The cases studied in this thesis, which are beyond the scope of the classical theory, are when the curve has unstable primes that are either inert or ramified in the field K. In the first case, the key consists in replacing the classical modular curve with the so called Cartan non-split curves. In the second case, the main technique consists in associating a more complicated geometric object to the elliptic curve, in which the existence of Heegner points is guaranteed, and then recover the points in the original curve.