Every sufficiently cohesive topos is infinitesimally generated

Abstract

A topos E is weakly generated by a full subcategory C → E if the extreme subtopos E → E is the smallest subtopos of E containing C → E. If the full subcategory consists of only one object then we say that E is weakly generated by that object. For instance, it is well-known that every topos is weakly generated by its subobject classifier. The present paper is motivated by the observation that certain ‘gros’ toposes are weakly generated by an object that has exactly one point. In order to better understand this phenomenon we first address a more general problem. We consider a (Lawvere-Tierney) topology in a topos E and prove a sufficient condition for the associated classifier of dense subobjects to weakly generate E. We then concentrate on precohesive geometric morphisms p : E → S with Boolean S. We show that if the subobject classifier of E is connected (Sufficient Cohesion) then E is weakly generated by the classifier of ¬¬-dense subobjects.

Un topos E est faiblement généré par une sous-catégorie C → E si le sous-topos extrême E → E est le plus petit sous-topos de E contenant C → E. Si la sous-catégorie est constituée d’un seul objet, nous disons que E est faiblement généré par cet objet. Par exemple, il est bien connu que chaque topos est faiblement généré par son classificateur de sous-objets. Le présent article est motivé par l’observation que certains ‘gros’ topos sont faiblement généré par un objet qui a exactement un point. Afin de mieux comprendre ce phénomène, nous abordons d’abord un problème plus général. Nous considérons une topologie (Lawvere-Tierney) dans un topos E et prouvons une condition suffisante pour que le classificateur de sous-objets denses associé génère faiblement E. Nous nous concentrons ensuite sur les morphismes géométriques pré-cohésifs p : E → S avec S Booléen. Nous montrons que si le classificateur de sous-objets de E est connexe (Sufficient Cohesion) alors E est faiblement généré par le classificateur de sous-objets ´ ¬¬-denses.