Caras, aristas y vértices

Abstract

La idea motivadora de este trabajo fue escribir un texto de matemática que, por un lado, pudiera ser leído directamente por estudiantes de la escuela media bajo la supervisión de sus docentes y, al mismo tiempo, fuese lo más riguroso posible.El tema elegido es un teorema conocido de Euler sobre poliedros convexos que,creemos, puede ser presentado sin conocimientos previos de geometría espacial. Cada docente que decida abordar este texto le imprimirá su propia experiencia de trabajo y avanzara en la forma que le parezca más conveniente, adecuándolo al ritmo de sus alumnos.Hemos intentado que el trabajo fuese lo más autocontenido posible. En algunas ocasiones nos hemos basado en la intuición para poder avanzar sin tener que usar herramientas demasiado complejas: por ejemplo, hemos asumido que una poligonal cerrada en el plano que no se cruza consigo misma define un "adentro" y un "afuera" o que hay una proyección "suficientemente buena" de un poliedro convexo a un plano sin demostración formal. A partir de este trabajo, los alumnos podrán buscar información sobre diversos temas relacionados: por ejemplo, sólo para nombrar algunas posibilidades, se podría ahondar en la historia del problema o de los matemáticos involucrados, averiguar distintas clasificaciones de figuras y cuerpos geométricos o buscar generalizaciones o aplicaciones del resultado. Para comenzar, damos una definición posible de polígonos planos motivando por que son necesarias las definiciones cuando tratamos con objetos matemáticos. A continuación, definimos polígonos convexos de diversas formas. El tratamiento de los polígonos se hace en forma exhaustiva para ir introduciendo el lenguaje y los métodos que sirven para definir luego poliedros convexos. Finalmente, se enuncia y se da una prueba en tres pasos del teorema de Euler sobre la relación entre los números de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo, basada en una demostración de Cauchy.