Relación entre el carcaj ordinario de un álgebra y el grado de un morfimos irreducible

Abstract

Consideramos A un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Uno de los objetivos de este trabajo es determinar los grados de los morfismos irreducibles teniendo en cuenta el carcaj con relaciones que representa a un álgebra. Estudiamos este problema para las álgebras de cuerdas de tipo de representación finito. Más aún, calculamos el índice de nilpotencia del radical de la categoría de módulos de dichas álgebras. Asimismo, determinamos el índice de nilpotencia del radical de la categoría de módulos de las álgebras inclinadas de conglomerado en función del número de vértices del carcaj ordinario. En el caso de las álgebras inclinadas de conglomerado de tipo An y Dn, también presentamos un enfoque geométrico. Por otra parte, estudiamos los morfismos de la categoría de módulos de un álgebra y su relación con el radical, comparándolos con los morfismos inducidos en la categoría de módulos del álgebra de endomorfismos de un módulo inclinante. Para ello utilizamos el Teorema de Inclinación, debido a S. Brenner y M. Butler. Aplicamos estos resultados y hallamos una cota del índice de nilpotencia del radical de la categoría de módulos de las álgebras inclinadas iteradas de tipo Dynkin. Para todas las clases de álgebras arriba mencionadas, estudiamos la composición de los morfismos irreducibles y su relación con la potencia del radical a la cual pertenece. Finalmente, estudiamos el problema de la existencia de álgebras que poseen morfismos irreducibles de un módulo indescomponible no proyectivo a su trasladado de Auslander-Reiten.