Operadores de Schrodinger: Propiedades de tamaño y suavidad.

Abstract

Este trabajo tiene por objeto el estudio de las Transformadas de Riesz asociadas al operador de Schr\"odinger en $\mathbb{R}^d$, esto es, $L= - \nabla + V$, donde el potencial $V$ es no negativo, no id\'enticamente nulo y cumple una desigualdad reverse-H\"older de orden $q$, con $q>d/2$ y $d \geq 3$. Esta condici\'on expresa que los promedios sobre bolas en norma $q$ est\'an mayorados por una constante veces los promedios, y en particular requiere que $V$ pertenezca a $L^q_\text{loc}$. Como la funci\'on $V(x)= |x|^2$ satisface esta desigualdad cualquiera sea el valor de $q$, nuestro trabajo incluye el caso del Oscilador Arm\'onico. Consideramos solamente las transformadas de Riesz de primero y segundo orden pues son las que interesan a efectos de proveer una informaci\'on cualitativa sobre soluciones de la ecuaci\'on diferencial asociada. A diferencia del caso $V=0$, aqu\'i las transformadas de Riesz de segundo orden no son una simple composici\'on de las de primer orden, por lo que su estudio debe hacerse independientemente. M\'as espec\'ificamente, los operadores objeto de an\'alisis son: $\nabla L^{-1/2}, \nabla^2 L^{-1}, V^{1/2}L^{-1/2}$, $VL^{-1}$ y $V^{1/2}\nabla L^{-1}$ y sus adjuntos. Respecto a estos \'ultimos, como en este contexto no conmutan las derivadas con el operador diferencial $L$, las transformadas de Riesz y sus correspondientes adjuntos pueden tener propiedades muy diferentes, como ser\'a evidente a lo largo de la exposici\'on.Para estos operadores, que llamaremos Transformadas de Riesz-Schr\"odinger, obtendremos distintos tipo de resultados que podemos englobar en estimaciones de suavidad y de tama\~no.As\'i, en los cap\'itulos 3 y 4, obtenemos acotaciones de algunos de estos operadores sobre apropiadas versiones de espacios $BMO$ y Lipschitz pesados. Bajo estas m\'inimas condiciones sobre el potencial, Shen demostr\'o que, salvo la transformada $\RS_1= \nabla L^{-1/2}$ cuando $q>d$, todas las restantes mencionadas son acotadas en $L^p$ s\'olo para $p$ en un intervalo finito del tipo $(1,s]$, por lo que no podemos esperar acotaci\'on ni siquiera en $BMO$. De otro modo, por interpolaci\'on, resultar\'ian acotadas en $L^p$ para todo el rango de $p$, esto es, $1