Sobre la no convergencia del método de mínimos cuadrados en dimensión infinita

Abstract

Un procedimiento muy utilizado en diversas aplicaciones para aproximarlas soluciones de un problema inverso infinito-dimensional de la formaAx=b, dondeAes un operador lineal y compacto sobre un cierto espacio de HilbertXybes eldato dado, consiste en encontrar una sucesi ́on{XN}de subespacios aproximantes finito-dimensionales deXcuya uni ́on es densa enXy construir la sucesi ́on{xN}de solucionesde m ́ınimos cuadrados del problema en cada subespacioXN. En [3], Seidman demostr ́oque si el problema es mal condicionado, entonces sin ninguna hip ́otesis adicional sobrela soluci ́on exacta o sobre la sucesi ́on de subespacios aproximantes{XN}, no se puedegarantizar que la sucesi ́on{xN}converger ́a a la soluci ́on exacta. En este art ́ıculo seextiende este resultado: se prueba que siXes separable, entonces para cualquierb∈X,b6= 0, y para cualquier funci ́on no negativa definida sobre los naturalesf: IN→IR+,existe un operador lineal, compacto e inyectivoAy una sucesi ́on creciente de subespaciosfinito-dimensionalesXN⊂Xtales que∥∥xN−A−1b∥∥≥f(N) para todoN∈IN, dondexNes la soluci ́on de m ́ınimos cuadrados del problemaAx=benXN.