Métodos numéricos para resolver problemas de control óptimo

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es proponer métodos numéricos para resolver ciertos problemas de control óptimo. En una primera etapa se analizan problemas de control óptimo determinista de tipo minimax y se presentan condiciones de optimalidad tanto necesarias como suficientes. Se plantea una discretización en tiempo de dicho problema y, a partir de las condiciones de optimalidad halladas, se propone un algoritmo de descenso convergente. Siguiendo con esta misma línea, se estudia un problema de control óptimo minimax con incertezas. Se plantean aproximaciones por promedios muestrales (sample average approximations) y se demuestra la epiconvergencia de las funciones de costo de estos nuevos problemas cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito. Estos últimos se aproximan mediante problemas discretos en tiempo con controles seccionalmente constantes, para los cuales se estudian condiciones de optimalidad y se generaliza el algoritmo propuesto para el caso determinista. Además, se estudia la convergencia de minimizadores de los problemas discretos a minimizadores del problema continuo.En una segunda etapa se estudia un problema de control óptimo estocástico con costo integral. Se generaliza el algoritmo de Sakawa-Shindo que había sido propuesto para el caso determinista, el cual está basado en el Principio del Máximo de Pontryagin (PMP). El estudio del algoritmo está hecho en tiempo continuo, y esto es lo que motiva la última parte de la tesis en la que se estudia un problema de control óptimo estocástico en tiempo discreto. Se demuestra el Principio de la Programación Dinámica (PPD) para este problema, se estudia la convergencia de las funciones valor cuando el paso de tiempo tiende a cero y también se analiza la convergencia de controles óptimos. Finalmente se dan condiciones de optimalidad necesarias para el problema en tiempo discreto y se demuestra que el algoritmo de Sakawa-Shindo estocástico puede adaptarse a este caso.