Puntos fijos de acciones y funciones en 2-complejos

Abstract

En esta tesis buscamos comprender cómo los invariantes algebraicos de un espacio X dan información acerca de la existencia de puntos fijos de una función o acción de un grupo en X, especialmente cuando X es de dimensión 2. Probamos que el grupo fundamental de un complejo simplicial finito de dimensión 2 con la propiedad del punto fijo y característica de Euler par no puede ser abeliano o un subgrupo finito de SO(3). Damos un ejemplo de un complejo simplicial finito de dimensión 2 con la propiedad del punto fijo y característica de Euler igual a 2. También probamos que la propiedad del punto fijo no es un invariante homotópico para complejos simpliciales finitos de dimensión 2. Estos resultados responden dos preguntas que formuló R.H. Bing en 1969. Un resultado de J.P. Serre dice que toda acción de un grupo finito en un árbol tiene un punto fijo. C. Casacuberta y W. Dicks conjeturaron que un grupo que actúa en un 2-complejo finito y contráctil tiene un punto fijo. La misma pregunta fue realizada independientemente por Aschbacher y Segev. Estudiamos la conjetura de Casacuberta-Dicks desde diferentes puntos de vista, partiendo de la clasificación dada por Oliver y Segev de los grupos finitos que actúan sin puntos fijos en un 2-complejo acíclico. Probamos que, módulo un caso particular de la conjetura de Kervaire–Laudenbach–Howie, si la conjetura de Casacuberta–Dicks resulta falsa, existe un contraejemplo de una forma particular. Utilizando un resultado de Brown que extiende la teoría de Bass-Serre a 2-complejos, traducimos la conjetura de Casacuberta–Dicks para A5 en una pregunta de teoría combinatoria de grupos, cercana al relation gap problem. Probamos que algunos casos del problema obtenido se siguen del trabajo de Klyachko en ecuaciones sobre grupos. A través de experimentos computacionales analizamos los posibles grupos fundamentales de los G-complejos acíclicos de dimensión 2 sin puntos fijos que son potenciales contraejemplos. También probamos que ciertos grupos superperfectos π no aparecen de esta forma. El complejo de curvas C(Sg) de una superficie orientada Sg de género g fue introducido por Harvey como un análogo de los Tits buildings para mapping class group Mod(Sg). Dado que hay una analogía entre Aut(Fn) y Mod(Sg), es natural buscar un análogo de C(Sg) en este contexto. Probamos que un posible análogo, el complejo simplicial PB(Fn) con símplices las bases parciales no vacías del grupo libre de rango n es Cohen-Macaulay y por lo tanto tiene el tipo homotópico de un wedge de (n−1)-esferas.

In this thesis we seek to understand how the algebraic invariants of a space X give information on the existence of fixed points of a mapping or group action on X, specially when X is 2-dimensional. We prove the fundamental group of a finite 2-dimensional simplicial complex with the fixed point property and even Euler characteristic cannot be abelian or a finite subgroup of SO(3). We give an example of a finite 2-dimensional simplicial complex with the fixed point property and Euler characteristic 2. We also prove that the fixed point property is not a homotopy invariant for 2-dimensional finite simplicial complexes. These results answer two questions raised by R.H. Bing in 1969. A result of J.P. Serre states that a finite group acting on a tree has a fixed point. C. Casacuberta and W. Dicks conjectured that a group acting on a finite contractible 2-complex has a fixed point. The same question was raised independently by Aschbacher and Segev. We study the Casacuberta-Dicks conjecture from different points of view, parting from Oliver and Segev’s classification of the finite groups which act fixed point freely on a 2-dimensional acyclic complex. We prove that, modulo a special case of the Kervaire–Laudenbach–Howie conjecture, if the Casacuberta–Dicks conjecture fails, there is a counterexample of a particular form. Using a result of Brown which extends Bass–Serre theory to 2-complexes, we translate the Casacuberta–Dicks conjecture for the group A5 into a question in combinatorial group theory, closely related to the relation gap problem. We prove that some cases of the resulting problem follow from the work of Klyachko on equations over groups. We use computer experimentation to analyze the possible fundamental groups of the 2-dimensional fixed point free acyclic G-complexes which are potential counterexamples. We also prove that certain superperfect groups π do not arise as fundamental groups in this way. The curve complex C(Sg) of an oriented surface Sg of genus g was introduced by Harvey as an analogue of Tits buildings for the mapping class group Mod(Sg). Since there is an analogy between Aut(Fn) and Mod(Sg), it is natural to seek for an analogue of C(Sg) in this context. We prove that a possible analogue, the simplicial complex PB(Fn) with simplices the nonempty partial bases of the free group of rank n is Cohen-Macaulay and thus has the homotopy type of a wedge of (n−1)-spheres.