Comportamiento dinámico de placas anisótropas con distintas combinaciones de las clásicas condiciones de borde

Abstract

En el presente trabajo se determinan las frecuencias naturales de vibración en placas delgadas rectangulares anisótropas, sustentadas en sus cuatro bordes por combinaciones diferentes de las clásicas condiciones de vínculos. Se consideran tres conjuntos de condiciones de contorno: 1) un par de bordes opuestos empotrado-empotrado y el otro par de bordes empotrado-simplemente apoyado, 2) tres bordes empotrados y el restante libre, 3) ambos pares de bordes empotrado-simplemente apoyado. Se considera la incidencia de la anisotropía del material, examinando el efecto de esta variable sobre las frecuencias naturales y formas modales de placas cuadrangulares con distintas relaciones de lados. Se utiliza el método variacional de Ritz, empleando como funciones aproximantes del desplazamiento las denominadas “funciones viga” en cada dirección coordenada principal. Es importante destacar el hecho de que en un trabajo pionero sobre el tema del cual son autores Mohan and Kingsbury5 se realiza un grave error desde el punto de vista matemático, ya que se utiliza el método variacional de Galerkin para obtener el algoritmo de cálculo siendo que las funciones coordenadas utilizadas no satisfacen condiciones naturales en varios casos. Por consiguiente, los resultados obtenidos no son lícitos en la mayoría de los casos tratados en el trabajo mencionado. Se realiza una implementación computacional que permite optimizar los tiempos para la obtención de re-sultados. A partir de la condición de anisotropía se efectúa la particularización al caso isótropo y ortótropo. Para validar la metodología empleada se comparan los resultados obtenidos con los disponibles en la literatura científica. Los resultados de este trabajo muestran que las frecuencias naturales son afectadas directamente por las condiciones de contorno y por la anisotropía del material y que el comportamiento dinámico de las mismas no puede predecirse sobre la base del análisis convencional de placas isótropas y ortótropas.

The present study deals with the determination of the natural frequency coefficients for anisotropic rectangular plates supported by various combinations of the classical boundary conditions: clamped, simplysupported and free. Three sets of edge conditions are presented: a) one pair of opposite edges clamped with the other pair clamped-simply-supported, b) one pair of opposite edges clamped with the other pair clamped-free; and c) both pair of opposite edges clamped-simply-supported. The purpose of this work is to study the effects upon the frequency coefficients and their associated modal shapes of: changing edge conditions and the incidence of the anisotropy of the material. The Ritz method is employed to perform the analysis. The deflection of the plate is approximated by a set of beam functions in each principal coordinate direction. No claim of originality is made by the authors of the present work since pioneering works on the subject make also intensive use of “beam functions” and in some instances: of the Ritz method to determine the natural frequencies. Unfortunately al least one of those ”almost classical” works, a paper by Mohan and Kingsbury5 published close to four decades ago commits a serious mathematical error since the eigenvalues are determined by the Galerkin method. In view of the fact that the coordinate functions do not satisfy in some instances the natural boundary conditions the methodology is not admissible and the eigenvalues are not, in general, correct. The results of this investigation show that the plate modal shapes and natural frequency coefficients are strongly affected by the characteristic of anisotropy material and that such structures do not exhibit easily predictable behavior.