Juegos de tipo Tug-of-War y soluciones viscosas

Abstract

La motivación de esta tesis es el estudio de los juegos llamados Tug-of-War en la literatura, y su conexión con ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Consideramos diferentes variantes de juegos de dos jugadores, con suma cero, que dependen de un parámetro que controla el tamaño del paso que se da cuando se actualiza la posición del juego. Se demuestra que el valor de estos juegos converge (cuando el parámetro tiende a cero) a una solución de una EDP (que debe ser interpretada en sentido viscoso). De esta forma nos encontramos con una nueva herramienta, basada en teorı́a de probabilidad, para obtener soluciones de problemas no-variacionales como por ejemplo (i) max{−∆_{p_1} u, −∆_{p_2} u} = 0, (ii) min{−∆_{p_1} u, −∆_{p_2} u} = 0, (iii) λ j (D^2 u) = 0. Aquı́ ∆_p u = div(|∇u|^{p−2} ∇u) es el operador conocido como p−laplaciano y λ j (D^2 u) es ej j−ésimo autovalor de D^2 u. También presentamos resultados relacionados con estos operadores que no están directamente conectados con los juegos que motivaron su estudio. Obtuvimos una interpretación geométrica de las soluciones viscosas de la ecuación λ j (D^2 u) = 0 en términos de envolventes cóncavo/convexas sobre espacios afines de dimensión j. Esta caracterización geométrica nos permitió dar condiciones necesarias y suficientes sobre el dominio para asegurar el buen planteo del problema de Dirichlet asociado a la ecuación. Motivados por las ecuaciones (i) y (ii) consideramos ecuaciones de la forma max {L_1 u, L_2 u} = 0. Presentamos un nuevo esquema iterativo usando el problema del obstáculo, que converge a una solución de esta ecuación. Finalmente, encontramos nuevas cotas para el primer autovalor de un operador elı́ptico totalmente no-lineal. Esta nueva cota inferior nos permite probar que lim λ_{1,p} = λ_{1,∞} =(π/2R)^2 p→∞ donde λ_{1,p} y λ_{1,∞} son el autovalor principal del p-laplaciano homogénero y del infinito laplaciano homogéneo respectivamente.

This thesis is motivated by the study of Tug-of-War games in connection with partial differential equations (PDE). We consider different variants of two-player zero-sum games that depend on a parameter that control the size of the step that actualizes the position of the game. We show that the value functions of these games converge (as the parameter goes to zero) to a solution of a PDE (that has to be interpreted in the viscosity sense). In this way we found a new tool, based in probability theory, to obtain solutions to non-variational problems like (i) max{−∆p1 u, −∆p2 u} = 0, (ii) min{−∆p1 u, −∆p2 u} = 0, (iii) λj (D2u) = 0. Here ∆pu = div(|∇u| p−2∇u) is the p−laplacian and λj (D2u) stands for the j−th eigenvalue of D2u. We also present results related to these operators that are not directly connected to the games that motivated their study. We obtained a geometric interpretation of the viscosity solutions to the equation λj (D2u) = 0 in terms of convex/concave envelopes over affine spaces of dimension j. This geometric interpretation of the solutions allows us to give necessary and sufficient conditions on the domain in order to guarantee the well posedness of the Dirichlet problem associated to this equation. Motivated by equations (i) and (ii) we were lead to consider equations of the form max {L1u, L2u} = 0. We present a new iterative scheme using the obstacle problem that converges to a solution of this equation. Finally, we also discuss new bounds for the first eigenvalue of fully nonlinear elliptic operators. These new bounds allow us to prove that lim lim λ_{1,p} = λ_{1,∞} =(π/2R)^2 p→∞ , where λ1,p and λ1,∞ are the principal eigenvalue for the homogeneous p-laplacian and the homogeneous infinity laplacian respectively.