Investigaciones en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con aplicaciones a problemas físicos

Abstract

Una de las características más importantes de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que pretendan describir física, es que posean una formulación de valores iniciales bien puesta. Es decir, dados ciertos datos iniciales para algún tiempo inicial, las soluciones del sistema deben cumplir las siguientes tres condiciones: existir localmente, ser únicas y continuas en esos datos iniciales. Esta propiedad es fundamental en problemas físicos, debido a que garantiza el poder de predictibilidad de la teoría. Dentro de la clase de sistemas bien puestos, se encuentran los fuertemente hiperbolicos cite{kreiss2004initial}, estos son los que estudiaremos en esta tesis. Consideraremos teorías en derivadas parciales de primer orden, cuasi-lineales y con vínculos diferenciales. En estos casos, el número de ecuaciones es más grande que el número de campos a resolver, por lo que no pueden aplicarse los métodos standard para hiperbolicidad fuerte de la teoría de Kreiss. Para lidiar con este problema se introduce un nuevo tensor, llamado reducción. Este selecciona un subconjunto de ecuaciones con el objetivo de usarlas como ecuaciones de evolución para los campos a resolver. Cuando las mismas resultan fuertemente hiperbólicas llamamos a esa reducción hiperbolizador. Es de interés, tanto a nivel teórico como numérico, construir una teoría general que nos permita comprender que condiciones garantizan la existencia (o la no existencia) de hiperbolizadores y obtener métodos para construirlos. Es por ello que en esta tesis se responde parcialmente esa incógnita.Es conocido que el tensor que acompaña a las derivadas primeras, llamadosímbolo principal, juega un papel importante en la teoría. Por lo que gran parte de la tesis es el estudio de sus propiedades, que nos permite obtener información sobre como construir hiperbolizadores. Como primer resultado cite{abalos2017necessary}, hemos encontrado que para teorías cuasi-lineales, una condición necesaria para que exista unhiperbolizador es que los valores singulares de ciertas familias mono-paramétricas $(arepsilon)$ de perturbaciones del símbolo principal, sean solo de orden $Oleft( arepsilon^{0}ight) $ o $Oleft(arepsilon^{1}ight)$. Por lo que hemos desarrollado un mecanismo que permite identificar, de un modo muy sencillo, teorías mal puestas. Usando esta herramienta, hemos mostrado que las ecuaciones que describen la electrodinámica de Force Free en su versión de potenciales de Euler y los fluidos cargados con conductividad finita, son débilmente hiperbólicas.Como nuestro segundo resultado cite{abalos2018necessary}, hemos estudiado las teorías con coeficientes constantes, y concluimos que una condición necesaria y suficiente para hiperbolicidad fuerte, es que exista un ángulo máximo $0leqartheta<rac{pi}{2}$, tal que los ángulos principales de ciertos subespacios vectoriales asociados al kernel por derecha y por izquierda del símbolo principal, estén acotados superiormente por el mismo. Este resultado es alcanzado considerando la descomposición de Kronecker de la parte principal y construyendo explícitamente los hiperbolizadores. Esto es posible debido a que en teorías hiperbólicas (no necesariamente fuertemente hiperbólicas), esta descomposición queda limitada a solo dos tipos de bloques: bloques de Jordan y bloques que llamaremos de vínculos. Por otro lado, cuando la condición de ángulo máximo se cumple, es posible observar que los bloques de Jordan se vuelven diagonales y usar las mismas expresiones de la descomposición para encontrar explícitamente los hiperbolizadorespunto a punto. Como ejemplo de aplicación estudiamos la teoría de Klein Gordon, mostrando su estructura de Kronecker y sus hiperbolizaciones.Como tercer resultado cite{abalos2018necessary}, estudiamos teorías electrodinámicas no lineales, surgidas de lagrangianos arbitrarios en término de los invariantes electromagnéticos. Estas teorías presentan relaciones de dispersión definidas en términos de dos métricas lorentzianas efectivas. Hemos probado que estas teorías son simétricas hiperbólicas (una clase dentro de las fuertemente hiperbólicas) si y solo si, los conos temporales de esas métricas efectivas tienen intersección no vacía. Para ello hemos construidos hiperbolizadores explícitos, llamadas simetrizadores cite{Geroch:1996kg}. Además hemos aplicado este resultado a ejemplos de interés físico: alas teorías electromagnéticas de Born-Infeld, Gauss-Bonnet y Euler-Heisenberg. Estas resultan simétricas hiperbólicas cuando ciertas restricciones sobre los campos electromagnéticos son impuestas. Por último, hemos construido una teoría electrodinámica de juguete, que resulta simétrica hiperbólica, pero cuyos conos de propagación no tienenintersección con los conos de la métrica de fondo. Para finalizar, estudiamos la teoría de vínculos y su conexión con la descomposición de Kronecker del símbolo principal. En los casos mas simples de la descomposición, obtenemos ecuaciones de evolución para el sistema subsidiario de vínculos y condiciones de integrabilidad necesarias para que los vínculos se conserven. Estas ecuaciones parecen ser naturalmente fuertemente hiperbólicas si el sistema original es hiperbolizable, por lo que en estos casos los vínculos se mantienen satisfechos. Por otro lado, cuando la descomposición de Kronecker se vuelve mas compleja, aparecen vínculos ocultos de mayores derivadas. Debido a que no hay una teoría asociada a estos casos, no es posible asegurar que los mismos se conservan durante la evolución.