Métricas sobre grupos y anillos con aplicaciones a la teoría de códigos

Abstract

Tradicionalmente la Teoría de Códigos se ocupó de construir y analizar códigos sobre cuerpos finitos. Con el tiempo, también comenzaron a considerarse códigos sobre estructuras algebraicas más generales, como anillos, módulos y grupos. Esto llevó a la necesidad de considerar nuevas métricas, además de la clásica métrica de Hamming, más adecuadas para cada una de esas estructuras.En este trabajo, estudiaremos el espacio de métricas sobre grupos y anillos, en base a equivalencias, de las cuales podremos obtener propiedades generales de métricas especificas de interés para la Teoría de Códigos. Además estudiaremos los grupos de simetrías de métricas, los cuales nos permitirán decidir la existencia o no de isometrías entre espacios con estructuras distintas, obteniendo generalizaciones del conocido mapa de Gray. En particular, estudiaremos las métricas poset; y en el caso de posets jerárquicos, daremos una descripción de su grupo de simetrías, sus identidades de MacWilliams respectivas y describiremos algunas nuevas isometrías obtenidas.

Traditionally, Coding Theory was occupied with building and analyzing codes over finite fields.Over time, they also began to be considered codes on more general algebraic structures, such as rings, modules and groups. This led to the need to consider new metrics, in addition to the classic Hammingmetric, more suitable for each of those structures.In this paper, we will study the space of metrics on groups and rings, based on equivalences, fromwhich we can obtain properties of specific metrics of interest for Coding Theory. In addition, we will study the symmetry groups of metrics, which will allow us to decide the existence or not of isometries between spaces with different structures, obtaining generalizations of the familiar map of Gray. In particular, we will study the poset metrics; and in the case of hierarchical posets, we will give a description of their group of symmetries, their respectives MacWilliams Identities and we will describe some new isometries obtained.