Simetrías ocultas, twistors y estabilidad de campos lineales en agujeros negros

Abstract

En 4 dimensiones, nuestros resultados valen para perturbaciones de toda la clase de espacio-tiempos Einstein de tipo Petrov D, que incluye la métrica de Kerr-(A)dS que representa un agujero negro rotante con constante cosmológica. Encontramos una identidad de operadores sobre el espacio de campos espinoriales irreducibles de spin 1/2, 1 y 2, que relaciona las ecuaciones de campo con ecuaciones escalares de tipo onda con peso. Esta identidad permite tomar ecuaciones adjuntas y reconstruir los campos de spin superior a partir de campos escalares, lo cual conduce a operadores de simetría para las ecuaciones diferenciales involucradas, y además sugiere conexiones con ciertos mecanismos en teoría de twistors. En este sentido, mostramos también la aparición de simetrías ocultas asociadas a espinores de Killing pesados y tensores conformes de Killing-Yano. Encontramos que toda la estructura de simetrías anterior puede asociarse a la covariancia conforme intrínseca a los campos sin masa, y que además esto guarda una profunda relación con estructuras complejas en el espacio-tiempo. Introducimos la noción de twistor local con peso y su correspondiente conexión en el fibrado de twistors. Con respecto a aspectos de estabilidad, nos enfocamos en agujeros negros estáticos asintóticamente Anti-de Sitter, donde el espacio-tiempo no es globalmente hiperbólico y por lo tanto el análisis de la dinámica de campos lineales involucra un estudio de las condiciones de borde en el infinito temporal. Mostramos que las condiciones de borde mixtas (de Robin) son naturalmente motivadas, y encontramos que, mientras que los campos de Klein-Gordon sin masa son modalmente estables, tanto los campos de Maxwell como de gravedad linealizada son inestables bajo cierto rango del parámetro de Robin. Analizamos también la ruptura de la supersimetría entre modos gravitacionales y su relación con la estabilidad de los campos. Estos resultados son de relevancia en el contexto de la conjetura AdS/CFT de Maldacena, en la cual los duales gravitacionales son frecuentemente agujeros negros asintóticamente AdS. Nuestro estudio se basa en el análisis de ciertos operadores elípticos (tipo Schrödinger) definidos en una semilínea. Finalmente, en espacio-tiempos de altas dimensiones, nuestros resultados se aplican a perturbaciones de la clase Kundt y de agujeros negros estáticos. La clase Kundt es relevante porque contiene como caso particular las soluciones asociadas a geometrías cerca del horizonte de agujeros negros extremos, que han cobrado mucha importancia en la actualidad por su relación con la correspondencia Kerr/CFT. Siguiendo las ideas del caso 4-dimensional, modificamos las formas de conexión GHP e introducimos operadores de onda generalizados, mostrando que las ecuaciones de Teukolsky (y relacionadas) en dimensiones arbitrarias tienen una estructura tipo onda, y que las mismas se obtienen off shell como proyecciones de un operador de Laplace-de Rham modificado. Por último, mostramos también la relación entre las derivadas modificadas, tensores de tipo Killing con peso, y operadores conformemente covariantes. Los resultados brindan un mayor entendimiento de la estructura geométrica de las ecuaciones asociadas a perturbaciones de espacio-tiempos de altas dimensiones.

In the context of the black hole stability problem, which is currently one of the major open problems in General Relativity, in this thesis we study several aspects of the massless free field equations on curved spacetimes, with focus on perturbations of algebraically special spacetimes that contain black hole solutions as particular cases. We analyze the existence and origin of underlying symmetry structures, aspects of linear stability of the fields, and possible connections with twistor theory. Our main tool is an extensive use of the geometric structures associated to Yang-Mills theories and connections on fiber bundles. We study spacetimes of both 4 and higher dimensions. In 4 dimensions, our results hold for perturbations of the whole class of Einstein spacetimes of Petrov type D, which includes the Kerr-(A)dS metric representing a rotating black hole with cosmological constant. We find an operator identity on the space of irreducible spinor fields with spin 1/2, 1 and 2, that relates the field equations to weighted wave-like equations. This identity allows to take adjoint equations and reconstruct higher spin fields from scalar fields, which leads to symmetry operators for the differential equations involved, and also suggests connections with certain mechanisms in twistor theory. In this sense, we show the appearance of hidden symmetries associated to weighted Killing spinors and conformal Killing-Yano tensors. We find that the whole symmetry structure above can be associated to the conformal covariance intrinsic to massless fields, and also that this has a profound relation with complex structures on the spacetime. We introduce the notion of weighted local twistors and the corresponding connection on the twistor bundle. Regarding stability aspects, we focus on asymptotically Anti-de Sitter static black holes, where the spacetime is non-globally hyperbolic and therefore the analysis of the dynamics of linear fields involves the study of boundary conditions at timelike infinity. We show that mixed (Robin) boundary conditions are naturally motivated, and we find that, while massless Klein-Gordon fields are modally stable, both Maxwell and linearized gravitational fields are unstable on certain range of the Robin parameter. We also analyze the breaking of supersymmetry between gravitational modes and its relation with the stability of the fields. These results are relevant in the context of Maldacena’s AdS/CFT correspondence, in which the gravitational duals are frequently asymptotically AdS black holes. Our study is based on the analysis of certain elliptic (Schrödinger type) operators defined on a half-line. Finally, for higher dimensional spacetimes, our results apply to perturbations of the Kundt class and of static black holes. The Kundt class is relevant because it contains as particular case the solutions associated to near horizon geometries of extreme black holes, which have currently attracted much attention because of their relation with the Kerr/CFT correspondence. Following the ideas of the 4-dimensional case, we modify the GHP connection forms and introduce generalized wave operators, and we show that the higher dimensional Teukolsky (and related) equations have a wave-like structure, III IV and that they are obtained off shell as projections of a modified Laplace-de Rham operator. Lastly, we also show the relation between modified derivatives, weighted Killing-like tensors, and conformally covariant operators. Our results provide a better understanding of the geometric structure of the equations associated to perturbations of higher dimensional spacetimes.