Lógica de segundo orden y el modelo estándar de la aritmética

Abstract

El propósito de este artículo es defender la tesis según la cual el uso de la lógica de segundo orden es la mejor opción para capturar el modelo estándar de la aritmética.1 Esta idea no es novedosa y ha sido sostenida por otros autores, dentro de los que por supuesto se destaca Stewart Shapiro (1991). En este caso, Shapiro vincula la utilización de recursos de orden superior a la plausibilidad del estructuralismo en matemática. Es bien conocido que desde el punto de vista del estructuralismo, la aritmética es acerca de una única estructura, la estructura estándar de la aritmética. Pero, como consecuencia del Teorema Löwenheim-Skolem, las teorías de primer orden son satisfechas por modelos no estándar que no instancian esta estructura. De esta manera, los defensores del estructuralismo deben dar una explicación acerca de cómo fijar una única estructura singular como la interpretación pretendida de nuestro lenguaje de la aritmética. Y dado el resultado de categoricidad de la aritmética de segundo orden, esa explicación puede ofrecerse adoptando recursos que trasciendan la utilización de lenguajes con cuantificación de primer orden. Sin embargo, diversos argumentos han sido presentados para mostrar que la adopción de tales recursos es inaceptable. Fundamentalmente, porque habría buenos motivos para dudar del carácter lógico de los recursos de orden superior. El objetivo de este trabajo es responder a cada una de esas críticas, intentando brindar indirectamente razones para la adopción de los mencionados recursos como individuadores del modelo estándar de la aritmética.