Una técnica de descomposición de funciones y aplicaciones a algunas desigualdades

Abstract

Dado un dominio acotado Ω y una función f de promedio nulo en Ω obtenemos una descomposición {ft}t∈Γ, donde cada ft tiene promedio nulo y soporte Ut y el conjunto de índices Γ admite una estructura de árbol. Los conjuntos Ut son dominios simples (e.g.: bolas, cubos, rectángulos). Probamos también una estimación de la suma de las normas (con peso) de las ft en términos de la norma (con peso) de f. Para ello utilizamos una desigualdad de tipo Hardy, discreta, con pesos y sobre árboles, para cuya validez obtenemos una condición suficiente dependiente de los pesos. Esta descomposición permite generalizar a dominios complejos resultados cuya validez es conocida sobre los dominios simples Ut.Aplicamos esta técnica a dominios con frontera Hölder−α y a dominios de John, obteniendo como consecuencias: existencia de una inversa a derecha para el operador divergencia con su correspondiente estimación a priori, desigualdades de Poicaré mejorada y fraccionaria, desigualdad de Korn y una versión local de la desiguadad de Fefferman-Stein. En todos los casos trabajamos en espacios de Sóbolev con pesos de la forma d(⋅,∂Ω)^βp.Las singularidades que puede presentar la frontera de un dominio Hölder−α hacen que las desigualdades estudiadas requieran de un corrimiento en los exponentes. Nuestros resultados son válidos con la restricción:βp>−α lo que amplía el rango de exponentes previamente conocidos en la literatura.El el caso de dominios de John, nuestros resultados son válidos para:βp>−(n−dimA(∂Ω)), donde dimA(∂Ω) es la dimensión de Assouad del borde del dominio. Nuevamente, esta condición amplía el rango de pesos previamente conocido. Conjeturamos que en ambos casos las restricciones son óptimas.