Marcos balanceados

Abstract

Un conjunto generador de vectores en un espacio de Hilbert de dimensión nita es llamado un marco. La redundancia de estos conjuntos generadores es la propiedad crucial en sus numerosas y variadas aplicaciones en matemática pura y aplicada, en ciencias y en ingeniería, tales como representación eciente de vectores y operadores, procesamiento de señales, teoría de códigos, teoría de comunicaciones, teoría de muestreo, información cuántica, computación, entre otras. Hasta ahora no se había prestado atención a marcos que son balanceados, es decir, aquellos cuya suma es cero. En este trabajo consideramos estos marcos, y en particular marcos ajustados de norma uno balanceados. Analizamos diferentes propiedades y descubrimos varias ventajas que tienen en procesamiento de señales. Por ejemplo, dan una reconstrucción exacta en presencia de errores sistemáticos en los coecientes transmitidos, y son óptimos cuando estos coecientes están corrompidos con ruidos aditivos que pueden tener una media no cero. Más aún, usando marcos balanceados podemos conocer que los coecientes transmitidos fueron perturbados, y tenemos además una indicación de la fuente del error. Denimos una relación de equivalencia en el conjunto de los duales de un marco balanceado, y la usamos para mostrar que podemos obtener todos los duales a partir de los que son balanceados. Estudiamos el problema de encontrar el marco balanceado más cercano a un marco dado, caracterizando completamente su existencia y dando su expresión. Introducimos y estudiamos un concepto de complemento para marcos balanceados. Finalmente, presentamos varios ejemplos y métodos para construir marcos ajustados de norma uno balanceados.