La ecuación generalizada de Riccati en derivadas parciales. Aplicación al control de reacciones electroquímicas

Abstract

Se proponen y comparan soluciones al problema de mantener un sistema no lineal en equilibrio mediante una acción de control que optimiza un costo cuadrático durante un período de tiempo especificado. Se aplican los resultados al control de las llamadas “reacciones electroquímicas del hidr ógeno”(HER). Se resuelve el problema bilineal-cuadrático con horizonte finito apelando a diversos métodos que conducen a la formulación de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones se aproximan numéricamente. Una soluci ón aproximada de la EDP de Hamilton-Jacobi-Bellmann (HJB) asociada a este problema se obtiene mediante la expansión en serie de potencias de la función de valor. Se desarrolla un nuevo método para reducir considerablemente el almacenamiento de información y facilitar su complejo procesamiento en tiempo real. Este método se basa en la integración de una EDP de primer orden (RPDE) para la matriz generalizada de Riccati, que depende no solo del tiempo como en el problema clásico lineal-cuadrático, sino también del estado en que se encuentra el sistema. Este último método tiene algunas ventajas respecto del anterior, por ejemplo: (a) la RPDE provee la condición inicial para el coestado del sistema, o sea que transforma el problema de resolver las ecuaciones Hamiltonianas (HE), originalmente con condiciones de contorno, en otro de condiciones iniciales, lo que permite la integración de las HE en línea con el proceso; (b) el grado de aproximación al control óptimo depende del método utilizado para integrar la RPDE, y no de la cantidad de coeficientes guardados en la serie de potencia, en principio de infinitos términos, necesarios para la solución de la HJB; (c) permite utilizar toda la solución de la RPDE para tratar perturbaciones de distinta norma y duración, en reemplazo de la integración de las HE, reconocidamente inestables dada su estructura simpléctica. En el trabajo se comparan las siguientes tres alternativas para la regulación: (i) series de potencias para HJB; (ii) RPDE fuera de línea y HE en línea; (iii) RPDE fuera de línea y optimización en línea. Para alguno de los métodos se han desarrollado algoritmos numéricos especializados, que se comparan con la utilización de software matemático de uso corriente. También se ilustra el comportamiento de las soluciones frente a variaciones en los parámetros de dise˜no del costo cuadrático, especialmente de la penalización final.