¿Qué es una ficción en matemáticas?: Leibniz y los infinitesimales

Abstract

El objetivo de este trabajo es examinar el concepto leibniziano de ficción matemática, con especial énfasis en la tesis de Leibniz acerca del carácter ficcional de las nociones infinitarias. Se propone en primer lugar, como marco general de la investigación, un conjunto de cinco condiciones que una ficción tiene que cumplir para ser matemáticamente admisible. Sobre la base de las concepciones de Leibniz acerca del conocimiento simbólico, se propone la ficción matemática como la clase de nociones confusas que carecen de denotación a raíz de la imposibilidad de su objeto. Tomando como punto de partida el análisis de la imposibilidad entendida como inconsistencia, se muestra que Leibniz admite otras formas de imposibilidad, que afectan especialmente a las nociones infinitarias. Proponemos así la imposibilidad como irrepresentabilidad geométrica y la imposibilidad por incompatibilidad con principios arquitectónicos. Así, el resultado de nuestro examen fundamenta la admisión de tres tipos de ficcionalidad matemática: la ficción1 , que se corresponde con la noción inconsistente, la ficción2 que incluye las nociones geométricamente irrepresentables y la ficción3 , que se aplica a las nociones “arquitectónicamente” imposibles. En conclusión, los conceptos infinitarios, sin ser por sí mismos inconsistentes, corresponden al tipo de ficcion2 y ficción3 . Como conclusión, se señala que la preocupación de Leibniz se enfoca sobre todo en la imposibilidad que surge de la incompatibilidad con principios arquitectónicos, relegando a un segundo plano la cuestión de la irrepresentabilidad geométrica. También se proponen algunas cuestiones generales acerca de la relación entre matemática y realidad en la filosofía de Leibniz.

The aim of this paper is to examine the Leibnizian concept of mathematical fiction, emphasising on Leibniz´s view on the fictional character of infinitary notions. Firstly, a set of five conditions that a fiction has to fulfill in order to be mathematically admissible is proposed as a general framework for the investigation. On the basis of Leibniz´s conceptions of symbolic knowledge, mathematical fiction is proposed as the class of confused notions that lack denotation due to the impossibility of their object. Departing from the analysis of the impossibility in terms of inconsistency, it is shown that Leibniz admits other forms of impossibility, especially for the infinitary notions. Thus, we propose impossibility as geometric irrepresentability and impossibility on the grounds of incompatibility with architectonic principles. In this way, the output of our examination supports the admission of three types of mathematical fiction, fiction1, which corresponds to the inconsistent notions, fiction2 that includes geometrically unrepresentable notions, and fiction3, which applies to "architectonically" impossible notions. In conclusion, infinitary concepts, without being inconsistent, correspond to the type of fiction2 and fiction3. Finally, it is concluded that Leibniz is more concerned with the impossibility due to incompatibility with architectonic principles than with the issue of geometric irrepresentability.