A Basis Theorem for 2-rigs and Rig Geometry

Abstract

Un semi-anneau unitaire commutatif (ou rig, en abrégé) est integral si 1 + x = 1. Nous montrons que, de meme que le classique ‘gros topos’ de Zariski associé a un corps algébriquement clos, le topos classifiant Z des rigs integraux (réellement) locaux est pré-cohésif sur Set. Le probleme principal est de montrer que le morphisme geom´ etrique canonique Z → Set est hyperconnexe essentiel et, encore comme dans le cas classique, le probleme se réduit a certains résultats purement algébriques. L’hyperconnectivité est lieé a une caractérisation inédite des rigs simples dué a Schanuel. L’essentialité est un corollaire d’un analogue d’un ‘theoréme de la base’ prouvée ici pour les rigs avec addition idempotente.

A commutative unitary semi-ring (or rig, for short) is integral if 1 + x = 1. We show that, just as the classical ‘gros’ Zariski topos associated to an algebraically closed field, the classifying topos Z of (really) local integral rigs is pre-cohesive over Set. The main problem is to show that the canonical geometric morphism Z → Set is hyperconnected essential and, again as in the classical case, the problem reduces to certain purely algebraic results. Hyperconnectedness is related to an unpublished characterization of simple rigs due to Schanuel. Essentiality is a corollary of an analogue of a ‘Basis Theorem’ for rigs with idempotent addition proved here.