Métodos categóricos y combinatorios en teoría de homotopía de espacios topológicos finitos

Abstract

El prop´osito principal de esta tesis es el de profundizar el estudio de la teor´ıa de homotop´ıa en el contexto de los espacios topol´ogicos finitos utilizando tanto resultados cl´asicos de la teor´ıa de categor´ıas como resultados combinatorios existentes o creados espec´ıficamente para tal fin. Es sabido que los tipos homot´opicos d´ebiles de los espacios topol´ogicos finitos coinciden con los de los CW–complejos compactos. As´ı, para todo espacio X que tenga estructura de CW–complejo compacto existen espacios topol´ogicos finitos d´ebilmente equivalentes a X llamados modelos finitos. Un problema natural que surge de este hecho es el denominado problema de minimalidad de modelos finitos que consiste en determinar los modelos finitos minimales de un CW–complejo compacto dado, esto es, los modelos finitos del complejo que tienen la menor cardinalidad posible. En este trabajo, estudiamos los modelos finitos minimales del plano proyectivo, del toro y de la botella de Klein. En particular, probamos la minimalidad de modelos finitos conocidos de estos espacios y caracterizamos expl´ıcitamente todos los modelos finitos minimales de los mismos, respondiendo preguntas abiertas de J. P. May y J. Barmak. M´as a´un, caracterizamos los espacios topol´ogicos d´ebilmente contr´actiles no contr´actiles de menor cardinalidad y probamos una conjetura de K. A. Hardie, J. J. C. Vermeulen y P. J. Witbooi sobre la minimalidad de un espacio con elementos de torsi´on en alguno de sus grupos de homolog´ıa con coeficientes enteros. Dada la naturaleza combinatoria de los espacios topol´ogicos finitos y su relaci´on con los tipos de homotop´ıa d´ebil de CW–complejos, resulta esperable y deseable obtener caracterizaciones combinatorias de nociones cl´asicas de teor´ıa de homotop´ıa en el contexto finito. En este trabajo, damos una caracterizaci´on de las cofibraciones de Hurewicz entre espacios topol´ogicos finitos y desarrollamos, utilizando dicha caracterizaci´on, un algoritmo capaz de determinar de manera eficiente si una funci´on dada entre espacios topol´ogicos finitos es o no una cofibraci´on. Por otro lado, definimos y estudiamos una construcci´on topol´ogica an´aloga a la denominada construcci´on de Grothendieck en teor´ıa de categor´ıas, y utilizamos esta construcci´on para clasificar los fibrados sobre espacios de Alexandroff con fibra T0. Adicionalmente, utilizamos la clasificaci´on obtenida para probar que tales fibrados son fibraciones de Hurewicz. Finalmente, estudiamos fibraciones de Hurewicz entre espacios topol´ogicos finitos T0, obteniendo numerosos resultados combinatorios sobre la estructura de las mismas. Uno de estos resultados establece una fuerte relaci´on entre fibraciones de Hurewicz en la categor´ıa de espacios topol´ogicos finitos T0 y bifibraciones de Grothendieck en la categor´ıa de posets finitos. Esta relaci´on caracteriza, bajo ciertas condiciones del espacio base, a las fibraciones de Hurewicz entre espacios finitos T0 sobre dicho espacio.