Módulos tau-inclinantes su comportamiento bajo álgebras extendidas y la dimensión global de su anillo de endomorfismos

Abstract

En esta tesis, consideraremos álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamentecerrado.Uno de los objetivos de este trabajo es estudiar el comportamiento de los módulosτ -inclinantes bajo ciertas extensiones de álgebras, tales como, las extensiones por unpunto y las extensiones escindidas por un ideal nilpotente. Otro objetivo es dar unacota para la dimensión global del álgebra de endomorfismos de un módulo τ -inclinante.Para las álgebras extendidas por un módulo proyectivo, obtenemos que existe unainmersión plena entre los correspondientes POSET?s de módulos τ -inclinantes. Para elcaso de extensiones escindidas de álgebras por un ideal nilpotente, probamos, bajo ciertascondiciones, que es posible extender y restringir módulos τ -inclinantes soportados.Más aún, en algunos casos se puede garantizar que una flecha en el diagrama de Hassedel álgebra inicial induce una flecha en el diagrama de Hasse del álgebra extendida.Para resolver el problema de la dimensión global, estudiamos el comportamientodel anulador de un módulo τ -inclinante. Probamos que la dimensión global del álgebrade endomorfismos puede ser infinita. Damos una condición necesaria para garantizarla finitud de la dimensión global. Probamos que para las álgebras monomiales y lasálgebras biseriales especiales de dimensión global dos, la dimensión global del álgebrade endomorfismos de cualquier módulo τ -inclinante es finita.

In this thesis, we consider finite dimensional algebras over an algebraically closed field. The first aim of this work is to study the behavior of support τ -tilting modules over extension algebras, such as the one-point extension by a projective module and the split-by-nilpotent extension algebras. The second aim is to give a bound for the global dimension of the endomorphism algebra of a τ -tilting module. For a one-point extension algebras by a projective module we obtain that there exists a full embedding of quivers between the poset of the algebra and the poset of its one point extension. For split by nilpotent extensions, we prove that, under some conditions, it is possible to extend and restrict support τ -tilting modules. Moreover, in some cases we can assure that an arrow in the Hasse quiver of the initial algebra induces an arrow in the Hasse quiver of the extend algebra. To solve the problem of the global dimension, we study the annihilator of a τ -tilting module. We give a family of examples where the global dimension of the endomorphism algebra of a τ -tilting module is infinite. We give a necessary condition to ensure that the global dimension is finite. For monomial algebras and for special biserial algebras of global dimension two, we show that the global dimension of the endomorphism algebra of any τ -tilting module is finite.