Estudio de problemas de reconstrucción de funciones en espacios de Paley Wiener asociados a medidas singulares o grupos localmente compactos abelianos: aplicaciones al estudio de núcleos positivos en el espacio de Hardy

Abstract

La tesis se encuentra dividida en dos partes: • Parte I: Técnicas de espacios modelos en el estudio de desarrollos de Fourier en espacios L 2 asociados a medidas singulares • Parte II: Conjuntos de muestreo y de interpolación universales en grupos localmente compactos abelianos Cada una de ellas trata una las dos rami caciones mencionadas sobre el problema de desarrollo en series de Fourier. A continuación damos una breve descripción de los problemas estudiados en cada una de las partes. Al comienzo de cada una de ellas, se encuentra una descripción más detallada de los resultados obtenidos así como también de los contenidos de cada capítulo. En [40] (ver también [25]) los autores prueban que si µ es una medida de probabilidad singular con respecto a la medida de Lebesgue sobre el intervalo [0, 1), entonces la sucesión de monomios {z n}n≥0 es efectiva en L 2 (T, µ). Por lo tanto tiene un marco de Parseval asociado por medio del algoritmo de Kaczmarz. Nuestro principal resultado es caracterizar dicho marco de Parseval. Más precisamente probamos que se puede expresar como los valores en el borde del marco de Parseval obtenido por proyectar los monomios sobre un espacio modelo conveniente. ix Por otra parte, Dutkay y Jorgensen estudiaron en [17] la conexión entre expansiones de Fourier lacunarias en espacios L 2 asociados a medidas fractales y subespacios cerrados del espacio de Hardy. Este hecho los llevó a estudiar matrices positivas en el espacio de Hardy con representación de borde dada, estudio que fue continuado por Herr et. al. en [28]. En esta dirección, estudiamos y caracterizamos el conjunto de medidas que reproducen al núcleo reproductor de un espacio modelo. Respecto al estudio de sucesiones de muestreo en interpolación universales, como hemos mencionado, no se sabe si grupos simples como R × Z 3 2 los poseen. Luego, es natural preguntarse si estos grupos admiten conjuntos de muestreo y de interpolación universales. En la segunda parte de la tesis se responde a rmativamente esta pregunta para grupos cuyo dual es compactamente generado y tipo Lie (ver sección 5.2), es decir, isomorfos a R d1 × T d2 × Z d3 × F, donde F es un grupo nito abeliano. Cuando Gb no se supone de tipo Lie, dado un entorno U de la identidad de Gb existe un conjunto compacto K contenido en U tal que G/K b es elemental (ver Teorema 8.1). Luego, en este caso la condición de universalidad es un poco más débil debido al factor compacto por el cual cocientamos. La universalidad de un conjunto de muestreo Λ para el espacio PWΩ será para conjuntos Ω tales que mGb(Ω + U) < D(Λ), donde U es un entorno de la identidad que contiene al grupo compacto. En el caso de interpolación, obtuvimos universalidad para el espacio PWΩ+U , donde Ω son conjuntos tales que mGb(Ω) > D(Λ).