Column symmetric polynomials

Abstract

Nous étudions l’algébre des polynômes en une m x n matrice de variables sur un anneau contenant les rationnels, sujette à la condition que le produit de deux variables appartenant à une même colonne est nul. Nous montrons que la sous-algèbre des polynômes invariants sous l’action des n! permutations des colonnes est un quotient de l’algèbre des polynômes en m variables; l’application quotient envoie la i-ème variable en la somme des entrèes de la i- ème ligne de la matrice. Une application en gèomètrie diffèrentielle synthètique est esquissèe.

We study the polynomial algebra (over a ring containing the rationals)in an m by n matrix of variables, and subject to the relation that saysthat the product of any two variables in the same column is zero. Weshow that the sub-algebra of polynomials, which are invariant under the n! permutations of the columns, is a quotient of the polynomial algebra in m variables; the quotient map sends the i´th variable to the sum of the entries in the i´th row of the matrix. An application in synthetic differential geometry is sketched.