Formulación y ensamblaje de elementos finitos jerárquicos para el análisis estático y dinámico de placas cuadriláteras laminadas

Abstract

En este trabajo se presenta la formulación y el proceso de ensamblaje de elementos finitos enriquecidos con polinomios ortogonales de Gram-Schmidt para el estudio de placas. A través del proceso de ensamblaje es posible realizar el análisis estático y de vibraciones libres de placas laminadas de forma geométrica genérica, cuya superficie se subdivide o malla en macroelementos finitos cuadriláteros. Para considerar distintas formas geométricas se utiliza una aproximación isoparamétrica y posteriormente los elementos son ensamblados. Las matrices de masa y de rigidez, y el vector de fuerzas elementales, son ordenados identificando grados de libertad nodales, de borde y puramente internos, para llegar a las matrices y vector globales de la estructura. La formulación obtenida permite trabajar con cualquier combinación de condiciones de borde clásicas, apoyos puntuales, lados simplemente apoyados, empotrados o libres. Así, se llega a una formulación general implementada en un programa computacional de elementos finitos, para determinar frecuencias naturales, formas modales asociadas y deflexiones estáticas de estructuras tipo placa. Además, se estudia la convergencia y estabilidad de los resultados, lo que permite concluir que esta metodología produce soluciones estables y convergentes. La principal ventaja del método desarrollado es que no requiere densificar el mallado en el dominio de la geometría de la placa para mejorar la aproximación.

The formulation and the process of assembly of finite elements enriched with Gram-Schmidt orthogonal polynomials for the study of anisotropic plates is presented in this work. This assembly allows the static and free vibration analysis of laminated plates of generic geometric shape; its planform is split into quadrilateral finite macro-elements. An isoparametric approximation is used to consider various geometric shapes and then, the elements are assembled. The element mass and stiffness matrices, and the element load vector are ordered identifying nodal, edge and purely internal degrees of freedom, for finally obtaining the global matrices and the global vector of the structure. The obtained formulation is useful for working with any combination of classical boundary conditions, point supported corner, simply supported, clamped or free edges. Thus, by combining the displacement field approximation, the mapping technique and the assembly technique a general formulation is obtained. This formulation has been implemented in a finite element computer program to find natural frequencies, their associated modal shapes and static deflections of different plates. Furthermore, convergences and stabilities of results are analyzed, which suggest that this methodology produces very good solutions. The main advantage of the developed method is that it does not require a dense mesh to improve the approximation, being especially important in great scale and optimization structural problems.